數學家如何在娛樂城做到「十賭十贏」?

娛樂城不怕你贏，就怕你不來，因為賭場遊戲基本都是「久賭必輸」。很多玩家迷信「運氣」，而經營賭場的人相信概率，這就是輸家和贏家的差別。

娛樂城應該怎麼玩？

例如輪盤賭，博彩中玩家可以押任何一個數字，如果轉盤上的小球正好停在這個數字上，賭場賠35倍。聽著很誘人對吧？電影《卡薩布蘭卡》中那個從歐洲逃難出來的小青年接連押中幾手22，去美國的旅費就有了。實際情況如何呢？我們來簡單分析一下。

如果只有1-36這36個數字，那麼玩家每次押1元，平均每36把贏一次，贏的35元正好抵消另外35把輸的錢。但賭場在輪盤左邊加了個「0」，玩家的贏面變成了1/37，贏的35元不足以抵消另外36把輸的錢，賭場占據了1/37 = 2.70%的概率優勢，也就是說玩家每押100元，平均要輸2.7元。

這還是「仁慈」的歐洲式輪盤賭，美國人覺得還不夠黑，又加了個「00」。現在平均38把押中一次，玩家的劣勢擴大了到5.3%。

除了押單個數字，輪盤賭還有押紅黑等其他玩法。無論是1賠35的單個數字，還是1賠1的押紅黑，賭場的贏面都一樣。但兩者之間仍有個重要差別：押單個數字的輸贏波動顯然比押紅黑大的多。

此處先簡單提一句：贏面和波動性是賭博和投資中極為關鍵的兩點。「久賭必輸」的賭博最好不要碰，實在要玩就挑輸贏波動性大的；「久賭必贏」的投資則應該選波動性小的。關於這個原理，後文將詳細討論。

回到賭博，絕大部分賭場遊戲都設計的和輪盤賭類似：賭場擁有概率優勢。這些遊戲中，玩家如果只玩幾手還可能靠「運氣」贏點錢，長期玩下去幾乎必輸，數學中稱之為「大數定理」（Law of Large Numbers）。然而賭場機關算盡，還是被數學家找到了一處破綻。

賭博天才橫世出

1960年代初，一位名叫索普（Edward Thorp）的美國數學家利用剛出現不久的計算機找到了21點遊戲中的機會，發展出一套通過計牌（card counting）打敗賭場的方法。索教授理論付諸實踐，用自己的計牌法連連大勝賭場，很快上了黑名單，眼看賭不成了，於是索某人乾脆就寫了一本書！然後大徹大悟，上華爾街發財去了，後來又在對沖基金領域闖出了一片天地。索某達人也！

這本書就是《戰勝莊家》（Beat the Dealer）——狂銷70萬冊，榮登《紐約時報》暢銷書榜。這就是成為當時賭徒們最愛看的一本書了。

索普計牌法的原理並不難。先講講21點的規則：玩家和莊家（賭場）對賭，看誰手中牌的點數之和更接近（但不能超過）21點。 10，J，Q，K都算十點，2至9 按各自點數計算，A可以算1點也可以算11點。例如下面的一手牌可以算8點，也可以算18點。

娛樂城牌局開始，玩家和莊家各發兩張牌，莊家的牌一明一暗（例如下圖）。然後玩家先做決定：可以抓牌，做加倍等特殊行動，或在任何時候選擇「停」。如果玩家超過21點（爆牌）就直接輸了，否則「停」後輪到莊家行動。莊家不能「見機行事」，只能按固定規則：手中的牌達到17點或以上必須「停」，否則必須抓。最後雙方比誰的牌更接近21點。

此外還有個特殊規定：一張A和一張十點牌（10，J，Q，K）叫「黑傑克」（Blackjack），拿到者直接取勝。如果玩家拿到黑傑克，可贏取1.5倍籌碼。莊家拿到黑傑克只能贏取1倍籌碼。

很明顯，21點遊戲中莊家和玩家各有優勢。莊家的優勢在「後發制人」：玩家如果先爆牌，莊家可以不戰而勝。而玩家的優勢在於靈活機動，可以根據自己的牌和莊家暴露的那張牌決定戰術。此外，黑傑克3：2的賠率也有利於玩家。

十點牌和A越多，出現黑傑克的機會越多，也越容易爆牌，玩家「機動靈活」的優勢更有價值。反之，3，4，5，6等小牌越多，爆牌的可能性越小，對莊家比較有利。索普時代的21點多用1副或2副撲克牌，當牌剛洗好時，賭場占據0.5%左右的概率優勢。妙處在於，隨著牌局進行，某些時候大牌和A的比例會變高，概率會轉為對玩家有利。索普戰勝賭場的方法就是：通過計牌估算概率，當形勢有利時下大賭注！

數學家是如何下注的呢？

形勢有利時如何下注很需要技巧。押太少了浪費機會，押太多了「犧牲」的風險大增。什麼才是不多不少的合適賭注呢？ 1956年，科學家凱利（John Kelly）就此發表了論文，提出了著名的凱利公式

f* = (bp – q) / b

其中，f* = 投注金額占總資金的比例

p = 獲勝的概率

q = 失敗的概率，q = 1-p

b = 賠率，例如在輪盤賭中押單個數字，b = 35，押紅黑，b = 1。

上文中講到的21點下注問題，假設總賭本10,000美元，玩家取勝的概率是51%，賠率1：1（實際勝率和賠率略有偏差，但相距不大），那麼凱利公式給出的最佳賭注是：

$10000 * (1 * 0.51 – 0.49)/ 1 = $200

我知道很多人看到數學公式就頭大，但要玩好賭博和投資沒法不用到數學。最重要的不在於帶公式計算數字，而是要弄明白公式背後真正的「意思」。

首先，公式中分子的bp – q 代表「贏面」，數學中叫「期望值」(expectation)，凱利公式指出：正期望值的遊戲才可以下注，這是一切賭戲和投資最基本的道理，也就是前面講的「沒有把握，決不下注」。

其次，贏面還要除以「b」才是投注資金比例。也就是說贏面相同的情況下，賠率越小越可以多押注。這一點不容易直觀理解，我們用個例子來說明。下面三個正期望值的遊戲，你看看選哪個：

「小博大」：勝率20%，贏了1賠5，輸了全光。bp – q = 5*20% – 80% = 20%
「中博中」：勝率60%，1賠1。bp – q = 1*60% – 40% = 20%
「大博小」：勝率80%，1賠0.5。bp – q = 0.5*80% – 20% = 20%

三個遊戲的數學期望值一樣，都是20%，或者說押100元平均贏20元。按大部分國人的賭性，恐怕會選「小博大」遊戲吧？但是用凱利公式中的「b」一除，「小博大」遊戲只能押總資金的4%，「中博中」可以押20%，「大博小」可以押40%。贏錢速度「大博小」快多了！前面不是講過「久賭必贏的遊戲應該選波動性小的」嗎？說的就是這個了。

現實中，愛玩「小博大」的多半是賭客。誰愛玩「大博小」呢？賭場！華爾街的職業投資家們很多玩的也是「大博小」，因為便於使用槓桿（押大賭注）。

最後，凱利公式指明了風險控制的至關重要性：即便是正期望值的遊戲也不能押太大的賭注。

從數學上講，押注資金比例超過了凱利值，長期的贏錢速度反而下降，還會大大增加出現災難性損失的可能性。舉個極端的例子，如果你每手都押上全部資金，那麼不管你贏過多少錢，只要輸一次就立刻破產。正所謂：辛辛苦苦幾十年，一夜回到解放前。

常言道：小賭怡情，大賭傷身。縱使是數學家也不可能永遠都是勝利的。你認為呢？

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